凱利公式是什麼？公式原理、實戰應用，讓你的資金配置不再靠感覺

凱利公式是什麼？一分鐘搞懂核心概念

凱利公式是一種數學公式，用來計算在已知勝率和賠率的情況下，每次應該投入多少比例的資金，才能讓長期資產成長率達到最大化。

簡單來說，它告訴你「有多少把握，就下多少注」，避免因為押太多而爆倉，也避免因為押太少而錯失獲利機會。

你也可以這麼想：

你在玩一場擲硬幣遊戲，正面你贏 2 元，反面你輸 1 元，而這枚硬幣正面出現的機率是 60%。

直覺上你會覺得「這很划算，應該全押」，但如果你真的每次都全押，只要遇到一次反面就會輸光所有資金。

凱利公式的價值就在於：它精確地告訴你，這種情況下你應該押總資金的多少比例，才能在長期重複遊戲中累積最大財富。

凱利公式的核心精神

凱利公式的核心精神可以用一句話總結：

在對你有利的時候適度加碼，在不利的時候減少部位或不出手。

這跟許多資深投資人強調的「大賺小賠」原則不謀而合。

不過凱利公式的特別之處在於，它不是靠感覺或經驗法則，而是用嚴謹的數學推導，給出一個可以量化的最佳答案。

對於股票投資人來說，凱利公式最實際的應用場景就是倉位管理

當你研判某支股票上漲機率較高、潛在報酬也不錯的時候，凱利公式能幫你計算出應該配置多少比例的資金在這支股票上，而不是憑感覺「覺得很看好就買三成」。

凱利公式的由來與歷史背景

凱利公式由貝爾實驗室的研究員約翰‧拉里‧凱利（John Larry Kelly Jr.）於 1956 年提出，最初是為了解決長途電話線路中的訊號雜訊問題，後來被應用到賭博和投資領域，成為資金管理的經典理論。

凱利當時的研究目標其實跟投資完全無關。

他在《貝爾系統技術期刊》上發表了一篇論文，主題是探討如何在有雜訊的通訊管道中，最大化資訊傳輸的效率。

然而聰明的數學家很快發現，這個公式的邏輯同樣可以應用在「有不確定性的資金分配」問題上。

最早將凱利公式帶進賭場的，是麻省理工學院的數學教授愛德華‧索普（Edward Thorp）。

索普在 1960 年代利用凱利公式搭配算牌技術，在拉斯維加斯的 21 點賭桌上贏得大量財富。

他後來將這套方法延伸到華爾街，創辦了避險基金，並取得了驚人的長期報酬率。

巴菲特也套用過凱利公式

另一位將凱利公式發揚光大的人物，就是大家熟知的股神巴菲特（Warren Buffett）。

巴菲特雖然不一定每次都直接套用凱利公式計算，但他「集中投資於高確定性機會」的理念，與凱利公式的精神完全一致：

當勝率夠高、賠率夠好的時候，就應該加大投入。

凱利公式發展時間軸

凱利公式怎麼算？完整公式拆解與參數說明

凱利公式的標準形式為 f = (bp − q) / b，其中 f 代表最佳投資比例，b 是賠率，p 是勝率，q 是敗率。

理解每個參數的意義，是正確使用凱利公式的第一步，也是許多初學者最容易搞混的地方。

基本凱利公式

f* = (bp − q) / b

各參數定義如下：

舉個簡單的例子來說明：假設你發現一個投資機會，勝率為 60%（p = 0.6），賠率為 1（也就是贏的話賺 1 倍，輸的話賠光該次投入）。

代入凱利公式計算：

f* = (1 × 0.6 − 0.4) / 1 = 0.2

這代表每次應該投入總資金的 20%。不是 60%，也不是 100%，而是 20%。

這個結果往往讓初學者感到意外，明明勝率超過一半，為什麼只能投 20%？

答案是：凱利公式追求的不是單次獲利最大化，而是長期資產成長率最大化。

它考慮到了即使勝率偏高，連續輸幾次的情況仍然可能發生，如果每次都押太多，一旦遭遇連敗，資金會大幅縮水，反而拖累長期績效。

投資版凱利公式（考慮部分虧損）

在實際股票投資中，輸了通常不會血本無歸，而是虧損一定比例。

這時候需要使用擴展版凱利公式：

f* = (bp − qa) / (ab)

其中多了一個參數 a，代表失敗時的損失率。例如你設定停損為 10%，那 a = 0.1。

這個擴展版本更貼近真實交易情境，因為在股票市場中，虧損幅度通常可以透過停損來控制，不像賭場那樣「全輸或全贏」。

凱利公式計算範例：從入門到進階

透過不同情境的計算範例，你會發現凱利公式的結果往往跟直覺不太一樣。

以下我們從最簡單的賭場場景開始，逐步推進到實際的股票投資案例，讓你徹底掌握凱利公式的運算邏輯。

範例一：基本硬幣遊戲

假設你參加一個不公正的硬幣遊戲：

• 正面機率 60%（p = 0.6），贏得投注金額的 1 倍
• 反面機率 40%（q = 0.4），輸掉全部投注金額
• 賠率 b = 1

凱利公式計算： f* = (1 × 0.6 − 0.4) / 1 = 20%

意思是你每次應該投入總資金的 20%。如果你手上有 100,000 元，第一次就投入 20,000 元。

如果贏了，資金變成 120,000 元，下一次就投入 120,000 × 20% = 24,000 元。

凱利公式的特色就是隨著資金增減動態調整投注金額。

範例二：台股實際投資場景

假設你分析了一支台股標的：

• 根據過去的交易紀錄，勝率 55%（p = 0.55）
• 設定目標報酬率 20%（b = 0.2）
• 設定停損率 10%（a = 0.1）

使用擴展版凱利公式：

f* = (0.2 × 0.55 − 0.45 × 0.1) / (0.1 × 0.2) f* = (0.11 − 0.045) / 0.02 f* = 0.065 / 0.02 f* = 325%

等等，325% 的意思是要用 3.25 倍槓桿？

沒錯，當收益率和損失率的幅度都不大（停損嚴格），凱利公式可能會建議使用槓桿。

但在實務中，這個數字明顯偏高，這也是為什麼專業投資人通常會使用「分數凱利」策略，也就是只取凱利公式建議值的一半或更少。

範例三：高波動 vs 低波動情境比較

這個範例特別重要！即使期望值相同，凱利公式的建議也會因波動率不同而有很大差異。

從表格可以清楚看到：波動率越大，凱利公式建議的原始比例可能越極端。

這正是凱利公式最重要的啟示之一：波動性本身就是風險，即使期望報酬看起來很好，高波動也意味著你應該更謹慎地控制部位。

凱利公式模擬：最少要跑幾次才準確？

根據大數法則和蒙地卡羅模擬的研究，凱利公式的模擬至少需要 1,000 次以上才能得到初步有參考價值的結果，而要達到統計上較可靠的結論，建議模擬次數應在 10,000 次以上。

這是因為凱利公式的效果是建立在「重複多次」的前提上，次數不夠的話，隨機波動會嚴重影響結果。

什麼是蒙地卡羅模擬？

蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）是一種利用大量隨機抽樣來估算結果分佈的統計方法。

以凱利公式的應用來說，就是讓電腦模擬成千上萬次的交易過程，看看在不同投注比例下，最終資產的分佈情況如何。

打個比方，就像你把一千顆豆子灑在一張畫了圓形的紙上，然後數有多少顆落在圓形裡面，藉此估算圓的面積。灑的豆子越多，估算就越準確。

不同模擬次數的準確度比較

以下是根據統計理論和實際模擬經驗整理的準確度對照表：

為什麼 100 次模擬不夠？

假設你用凱利公式計算出最佳投注比例是 20%，然後模擬 100 次交易。

由於只有 100 次，實際勝率可能偏離理論勝率很多。理論上 60% 的勝率，100 次中可能只贏了 50 次或贏了 70 次。

這種偏差在次數少的時候非常明顯，會導致模擬結果跟理論值差距很大。

根據統計學的中央極限定理，模擬次數的誤差大約與 1/√n 成正比。

也就是說：

• 100 次模擬的誤差約為 10%
• 1,000 次模擬的誤差約為 3.2%
• 10,000 次模擬的誤差約為 1%

這就是為什麼我們建議至少跑 1,000 次以上！

只有當模擬次數足夠多，凱利公式「長期最佳化」的效果才會真正顯現出來。

實際建議

如果你是一般投資人，想要驗證自己的交易策略搭配凱利公式是否有效，建議的模擬步驟是：

1. 先跑 1,000 次模擬，觀察資金曲線的大致走勢
2. 再跑 10,000 次模擬，確認結果是否穩定
3. 如果兩次結果差異不大，代表模擬已經收斂，可以作為決策參考
4. 如果差異仍然很大，建議增加到 50,000 次以上

值得注意的是，模擬次數指的是「單次模擬中的交易次數」，而非只跑一次模擬。

最佳做法是進行多次獨立模擬（例如跑 100 組，每組 1,000 次），然後觀察這 100 組的平均結果與分佈，這樣能更全面地評估凱利策略的可靠性。

凱利公式線上計算機怎麼用？北信工具實測

我們北信也提供了一個免費的凱利公式計算機，只要輸入勝率、收益率和損失率三個參數，就能即時算出最佳投資比重，還附帶模擬功能可以驗證結果。

對於不擅長手動計算的投資人來說，這是非常實用的工具。

北信凱利公式計算機的操作步驟

使用我們的的凱利公式計算機非常直觀，只需要３個步驟：

第一步：輸入勝利概率

這是你的交易勝率，以百分比表示。例如你統計了過去 100 筆交易，其中 58 筆獲利，那就輸入 58。

第二步：輸入勝利時收益率

這是你平均每次獲利時的報酬率。

例如平均每次賺到投入金額的 15%，就輸入 15。

第三步：輸入失敗時損失率

 這是你平均每次虧損時的損失率。

例如平均每次虧損投入金額的 8%，就輸入 8。

按下計算後，系統會顯示最佳投資比重；也就是凱利公式建議你每次應該投入總資金的比例。

善用模擬功能驗證結果

我們的凱利公式計算機最棒的功能之一就是內建的凱利模擬機。

你可以設定模擬的交易次數（例如 1,000 次），然後按下測試，系統會自動跑完整個模擬過程，並顯示勝利次數、失敗次數和實際勝率。

這個功能的好處是，你可以直觀地看到：

• 使用凱利公式建議的比例，長期資金會如何成長
• 過程中資金的波動程度有多大
• 實際勝率與你輸入的理論勝率是否接近

使用凱利計算機時的注意事項

1. 輸入的參數要基於真實數據： 不要用猜測的勝率和報酬率，最好是根據至少 50 筆以上的歷史交易紀錄來計算
2. 模擬次數建議設在 1,000 次以上： 如前文所述，次數太少的模擬結果參考價值有限
3. 計算結果是理論最佳值： 實際操作時建議打折使用（半凱利或更保守），不要直接全額採用
4. 定期重新計算： 隨著市場環境變化，你的勝率和報酬率也會改變，建議每季度重新統計一次

凱利公式在台股的實戰應用

在台灣股票市場中，凱利公式最常被用於決定單一個股的持股比例，以及搭配 T+2 交割制度進行資金規劃，避免因過度集中持股而面臨交割風險。

以下透過具體案例說明凱利公式如何應用在台股交易中。

案例一：短線交易者的部位管理

假設你是一位短線交易者，統計了過去半年的交易紀錄：

• 總交易 80 筆，獲利 48 筆，虧損 32 筆
• 勝率 = 48/80 = 60%
• 平均獲利報酬率 = 8%
• 平均虧損率 = 5%

代入擴展版凱利公式：

f* = (0.08 × 0.6 − 0.4 × 0.05) / (0.05 × 0.08) f* = (0.048 − 0.02) / 0.004 f* = 0.028 / 0.004 f* = 700%

這個數字顯然不合理，凱利公式建議你用 7 倍槓桿。

這是因為你的停損設得很嚴格（只有 5%），凱利公式認為在這種「小虧大賺」的條件下，可以非常積極。

但實務上，我們會採用半凱利（f* 的 50%）甚至四分之一凱利，並且設定一個絕對上限（例如單一個股不超過總資金的 25%）。

經過修正後：

• 半凱利 = 350%（仍然偏高）
• 四分之一凱利 = 175%（仍然偏高）
• 實務上限 = 25%（單一個股佔總資金不超過四分之一）

案例二：搭配台股 T+2 交割制度

台股採用 T+2 交割制度，也就是買進股票後的第二個營業日必須完成款項交割。

如果你在凱利公式的指引下配置了大量資金在股票上，萬一同時持有多支股票且行情不如預期，可能面臨交割款不足的窘境。

凱利公式在這個場景下的應用建議是：

1. 計算整體倉位上限：使用凱利公式計算的不只是單一個股，而是整體股票部位佔可用資金的比例
2. 預留交割安全邊際：凱利公式算出的比例再打八折，確保隨時有足夠現金應對交割需求
3. 分散持股降低集中風險：如果凱利建議的總持股比例是 60%，可以分散到 3-5 支個股，每支 12%-20%

提醒：

 如果你在股票交易中遇到資金週轉困難，特別是交割款項不足的緊急狀況，北信當鋪提供違約交割補救專案，能在關鍵時刻提供及時的資金支援。

凱利公式的風險與限制：為什麼不能全押？

凱利公式最大的弱點在於它要求精確的勝率和賠率輸入，但在真實的投資環境中，這些數據永遠只是估計值，任何微小的估計誤差都可能導致嚴重的資金配置偏差。

理解這些限制，是安全使用凱利公式的前提。

限制一：參數估計的不確定性

凱利公式的致命傷在於：它對輸入參數的敏感度極高。

假設你以為勝率是 60%，但實際只有 50%，凱利公式算出的投注比例可能從 20% 變成 0%（甚至是負數，代表不該投入）。

在股票市場中，勝率和報酬率是根據歷史數據估算的，但歷史不一定能預測未來。市場環境會改變、產業趨勢會轉向、個股的基本面也會變化。

這意味著你帶入凱利公式的數據，本身就帶有不確定性。

限制二：波動性與最大回撤

即使凱利公式長期來看能最大化資產成長，但使用全凱利比例（也就是 100% 採用公式建議值）的過程中，資金的波動會非常劇烈。

研究顯示，全凱利策略的最大回撤（MaxDrawdown）可能高達 50% 甚至更多。

對大多數投資人來說，看到帳戶縮水 50% 是難以承受的心理壓力，很可能在最不該賣出的時候恐慌出場。

限制三：假設條件與現實的差距

凱利公式有幾個重要的假設條件：

限制四：不適用於單次決策

凱利公式是一個長期最佳化的工具，它的威力建立在「重複多次」的前提上。

如果你只打算做一次投資就退場，凱利公式的建議可能不是最好的選擇。

它更適合有系統性交易策略、會持續執行多次交易的投資人。

分數凱利策略：專業投資人的實務做法

分數凱利（Fractional Kelly）是指只投入凱利公式建議比例的一定分數，例如半凱利（50%）或四分之一凱利（25%），藉此在保留大部分長期增長優勢的同時，大幅降低波動與回撤風險。

這是目前業界最主流的凱利公式實務應用方式。

為什麼專業投資人都用分數凱利？

原因很簡單：全凱利的波動太劇烈了。

理論上，全凱利能最大化長期成長率，但過程中的資金波動會讓人寢食難安。

分數凱利犧牲了一部分長期回報，換來的是顯著降低的波動性和更好的風險調整後報酬。

根據研究，半凱利策略（50% Kelly） 大約可以獲得全凱利 75% 的長期回報，但波動性只有全凱利的一半左右。這個交換在大多數情況下是非常划算的。

不同凱利比例的績效比較

如何選擇適合自己的凱利比例？

選擇的關鍵取決於2個因素：

第一，你對參數估計有多少信心

如果你的勝率和報酬率是根據上百筆實際交易統計出來的，信心較高，可以用半凱利。

如果只是根據短期數據或主觀判斷，建議用四分之一凱利甚至更低。

第二，你能承受多大的回撤

如果帳戶縮水 20% 你就會焦慮失眠，那你需要的是四分之一凱利加上絕對上限。

如果你有強大的心理素質和長期投資的耐心，半凱利是合理的選擇。

凱利公式 vs 其他資金管理策略比較

凱利公式並非唯一的資金管理方法，市面上還有固定金額法、固定比例法、馬丁格爾法等策略，各有優缺點。

了解不同策略的差異，才能根據自己的交易風格選擇最適合的方式。

4大資金管理策略完整比較

凱利公式的獨特優勢

從表格中可以看出，凱利公式最大的獨特之處在於：它會根據每次機會的品質（勝率和賠率）動態調整投入比例。

當機會很好時加碼，機會普通時減碼，完全不下注在負期望值的機會上。

相比之下，固定金額法和固定比例法不管機會好壞，每次都投入相同的金額或比例，無法最大化好機會帶來的收益。

而馬丁格爾法更是在虧損時加碼，完全違反了「在不利情況下減少曝險」的原則，長期使用幾乎必然導致破產。

凱利公式與期望值的關係

凱利公式和期望值是投資決策的2個互補工具；期望值告訴你「該不該投」，凱利公式告訴你「該投多少」。

兩者搭配使用，才能構成完整的交易決策框架。

什麼是期望值？

期望值（Expected Value）是衡量一個交易策略長期下來「平均每次能賺多少」的指標。計算公式為：

期望值 = (賺賠比 × 勝率) − (1 × 敗率)

例如勝率 40%、賺賠比 3（賺的時候是虧的 3 倍）： 期望值 = (3 × 0.4) − (1 × 0.6) = 1.2 − 0.6 = 0.6

期望值為正，代表這個策略長期執行下來是賺錢的。

期望值與凱利公式的關係

凱利公式有一個重要的內建邏輯：當期望值為零或負數時，凱利公式的建議投注比例會是零或負數。

也就是說，凱利公式自動幫你過濾掉不值得投入的機會。

這也解釋了巴菲特的投資哲學：當勝率超過 50%，巴菲特會使用簡化版凱利公式（2 × 勝率 − 1）來估算持股比例。

如果勝率不夠高，寧可持有現金等待更好的機會。

巴菲特也在用？凱利公式的名人應用案例

股神巴菲特（Warren Buffett）雖然不一定每次都精確套用凱利公式，但他的集中投資策略與凱利公式的精神高度一致：把大部分資金集中在少數高確定性的投資機會上。

除了巴菲特之外，愛德華‧索普、比爾‧乾（Bill Gross）等投資大師也都是凱利公式的實踐者。

巴菲特的簡化凱利法則

巴菲特運用的是凱利公式的簡化版本，假設賠率恆等於 1（輸贏金額對等），將凱利公式簡化為：

f* = 2p − 1

其中 p 是他判斷的勝率。按照這個公式：

• 勝率 60% → 建議持股比例 20%
• 勝率 70% → 建議持股比例 40%
• 勝率 80% → 建議持股比例 60%
• 勝率 90% → 建議持股比例 80%

巴菲特的名言「把雞蛋放在同一個籃子裡，然後仔細看好那個籃子」，就是凱利公式的白話版：當你有非常高的勝率時，分散反而是浪費優勢。

愛德華‧索普的傳奇故事

索普（Edward Thorp）被稱為「擊敗莊家的人」。

他在 1960 年代利用算牌技術估算 21 點的勝率和賠率，然後嚴格按照凱利公式決定每手的下注金額。

這套方法讓他在拉斯維加斯的賭場中持續獲利，直到被各大賭場列為拒絕往來戶。

之後索普將同樣的原理帶到金融市場，創辦了 Princeton Newport Partners 避險基金。

這支基金在 20 年間從未出現虧損年度，年化報酬率超過 20%。

索普的成功證明了凱利公式不只是理論上的最佳策略，在實務中同樣具有強大的威力。

投資人最常犯的凱利公式錯誤

使用凱利公式時最常見的錯誤，就是高估自己的勝率和報酬率，導致過度投注而承受不必要的風險。

以下整理了5個投資人最容易踩到的坑，幫你避開這些常見的陷阱。

錯誤一：用猜測代替統計

很多人使用凱利公式時，勝率和報酬率都是「感覺」出來的。

「我覺得這支股票大概有七成機會會漲」

這種主觀判斷通常比實際情況樂觀得多。

正確做法是根據至少 50-100 筆歷史交易紀錄，統計出客觀的勝率和平均損益。

錯誤二：直接使用全凱利

前面已經反覆強調，全凱利比例的波動太大。

但仍然有很多人看到凱利公式建議投 40%，就真的投 40%。結果一遇到連續虧損，資金大幅縮水，反而比不用凱利公式還慘。

錯誤三：忽略交易成本

凱利公式的計算不包含交易成本，但在台股中，買賣一次的成本（手續費 + 證交稅）大約是 0.585%。

如果你是頻繁交易的短線投資人，這些成本會顯著侵蝕報酬率，必須在計算時將其扣除。

錯誤四：不隨市場環境調整

市場會變，你的勝率和報酬率也會跟著變。

在多頭市場中統計出來的高勝率，到了空頭市場可能完全不適用。

凱利公式的參數需要定期更新，至少每季度重新統計一次。

錯誤五：把凱利公式當作唯一依據

凱利公式是資金管理的工具，不是選股工具。

它告訴你「買多少」，但不告訴你「買什麼」。

你仍然需要完善的選股方法、進出場策略，以及整體的投資計劃。凱利公式只是這個大框架中的一個環節。

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